题目内容
已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a2成立，求实数m的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由题意得恒有ma-f（x）＞a2成立，等价于ma-a2＞f（x）max，利用导数求得函数的最大值，即可得出结论．
（2）由题意得恒有ma-f（x）＞a2成立，等价于ma-a2＞f（x）max，利用导数求得函数的最大值，即可得出结论．
解答：
解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+
=
（x＞0），…（2分）
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
②当a＜0时，当0＜x＜
时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，
）上是增函数；
当x＞
时，f′（x）＜0，则f（x）在（
，+∞）上是减函数 …（6分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，
）上是增函数，f（x）在（
，+∞）上是减函数．…（7分）
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，
恒有ma-f（x）＞a2成立，等价于ma-a2＞f（x）max，
因为a∈（-4，-2），所以
＜
＜
＜1，
由（Ⅰ）知：当a∈（-4，-2）时，f（x）在[1，3]上是减函数
所以f（x）max=f（1）=2a…（10分）
所以ma-a2＞2a，即m＜a+2，
因为a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0…（12分）
所以实数m的取值范围为m≤-2 …13
| 1 |
| x |
| 2ax2+1 |
| x |
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
②当a＜0时，当0＜x＜
-
|
-
|
当x＞
-
|
-
|
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，
-
|
-
|
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，
恒有ma-f（x）＞a2成立，等价于ma-a2＞f（x）max，
因为a∈（-4，-2），所以
| ||
| 4 |
-
|
| 1 |
| 2 |
由（Ⅰ）知：当a∈（-4，-2）时，f（x）在[1，3]上是减函数
所以f（x）max=f（1）=2a…（10分）
所以ma-a2＞2a，即m＜a+2，
因为a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0…（12分）
所以实数m的取值范围为m≤-2 …13
点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识，考查恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力，属难题．
练习册系列答案
相关题目
已知
=（1，3），
=（m，2m-3），平面上任意向量
都可以唯一地表示为
=λ
+μ
（λ，μ∈R），则实数m的取值范围是（ ）
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| b |
| A、（-∞，0）∪（0，+∞） |
| B、（-∞，3） |
| C、（-∞，-3）∪（-3，+∞） |
| D、[-3，3） |
先后抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a，b，按以下程序进行运算：