Question

【题目】已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点.

（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；

（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；

（3）过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实数的取值集合，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，实数的取值集合为

【解析】

（1）求出曲线的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；

（2）设，，表示出直线的斜率，根据的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；

（3）直接求出当直线，直线和当直线，直线时，的值，当时，与双曲线联立可得，利用弦长公式求出和，利用列方程求出的值，验证判别式成立即可得出结果.

（1）曲线的焦点为，渐近线方程，

由对称性，不妨计算到直线的距离，.

（2）设，，从而

又因为点在第一象限，所以，

从而，

所以直线倾斜角的取值范围是；

（3）当直线，直线

，

当直线，直线时，

不妨设，与双曲线联立可得，

由弦长公式，

将替换成，可得

由，可得，

解得，此时成立．

因此满足条件的集合为