题目内容
【题目】在三棱锥中,底面是边长为
的正三角形,点
在底面
上的射影
恰是
的中点,侧棱
和底面成
角.
(1)若为侧棱
上一点,当
为何值时,
;
(2)求二面角的余弦值大小.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)以
点为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系.设
,表示
与
,根据
求
;
(2)分别求平面和平面
的法向量,利用法向量求二面角的余弦值的大小.
由题意可知底面
,且
,
以
点为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系.因为
是边长为
的正三角形,又
与底面所成角为
,所以
,所以
.
所以,
,
,
,
.
(1)设,则
,所以
,
.若
,则
,
解得,而
,所以
,
所以.
(2)因为,
,设平面
的法向量为
,
则,令
,则
,
,所以
.
而平面的法向量为
,
所以,又显然所求二面角的平面角为锐角,
故所求二面角的余弦值的大小为.
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