Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＞1}\\{（6-a）^{x}-2a，x≤1}\end{array}\right.$．
（1）若a=4，求f（f（2））的值；
（2）若f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由内而外求f（f（2））的值，即先求得f（2），再将之代入函数式求值；
（2）f（x）为增函数需要满足三条件，对数函数递增，指数函数递增，在分界点附近递增，列出不等式得出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=4时，f（2）=log₄2=$\frac{1}{2}$，
而f（$\frac{1}{2}$）=$（6-4）^{\frac{1}{2}}-8$=$\sqrt{2}$-8，
即f（f（2））=$\sqrt{2}$-8；
（2）∵f（x）是R上的单调递增函数，
∴a＞1且6-a＞1，
解得，1＜a＜5，-----------------①
当x=1时，log_a1=0＞（6-a）-2a，
解得，a≥2，--------------------②
由①②得，2≤a＜5，
所以实数a的取值范围为：[2，5）．

点评 本题主要考查了分段函数的图象与性质，涉及分段函数值的求解和分段函数单调性的确定，属于中档题．