Question

8．如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=DA=a，AB=2a，SA⊥平面ABCD，且SA=a
（1）求证：△SAD，△SAB，△SCB，△SDC都是直角三角形；
（2）在SD上取点M，SC交平面ABM于N，求证；四边形ABNM为直角梯形．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的性质可得△SAD，△SAB是直角三角形；由∠ADC=90°，SA⊥DC，可得CD⊥平面SAD，CD⊥SD，即△SDC都是直角三角形；求得SB，BC，SC的值，利用勾股定理即可证明△SCB是直角三角形；
（2）由SA⊥AB，DA⊥AB，可证AB⊥面SAD，AB⊥AM，由NM∥CD，可得NM⊥面SAD，NM⊥AM，即可证明四边形ABNM为直角梯形．

解答 证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴SA⊥AB，SA⊥AD，
∴△SAD，△SAB是直角三角形；
∵∠ADC=90°，即AD⊥DC，SA⊥DC，AD∩SA=A，
∴CD⊥平面SAD，
∴由SD?平面SAD，可得：CD⊥SD，即△SDC都是直角三角形；
∵CD=DA=a，AB=2a，SA=a，
∴SB=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，BC=$\sqrt{（AB-DC）^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，SC=$\sqrt{S{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴SB²=BC²+SC²，可得△SCB是直角三角形；
（2）∵SA⊥底面ABCD，直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°．
∴SA⊥AB，AD⊥AB，且SA∩DA=A，可得：AB⊥面SAD，可得：AB⊥AM，
∴SA⊥DC，AD⊥DC，且SA∩DA=A，可得：CD⊥面SAD，可得：CD⊥AM，
又∵NM∥CD，∴NM⊥面SAD，∴NM⊥AM，
∴在四边形ABNM中，∠NMA=∠BAM=90°．
∴四边形ABNM为直角梯形．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．