Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=6，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，将点（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，即可求得c=1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意，设直线方程为l：y=k（x-1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入求得k₁+k₂=-$\frac{1}{k}$，由k₁+k₂=6，即可求得直线l的斜率．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，
 又（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，$\frac{1}{4{c}^{2}}$+$\frac{9}{4×3{c}^{2}}$=1，解得：c=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；．…5分
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意，
设直线方程为l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=k（$\frac{{x}_{1}-1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{2}+2}$）=k[2-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$]，
=k[2-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}+4）}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$]，
=k[2-$\frac{3（\frac{8{k}^{2}}{3+{k}^{2}}+4）}{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+2×\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+4}$]，
=k（2-3•$\frac{2{k}^{2}+1}{3{k}^{2}}$）=-$\frac{1}{k}$，
由k₁+k₂=6，
则k=-$\frac{1}{6}$，
求直线l的斜率-$\frac{1}{6}$． …14分．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．