Question

4．若函数f（x）=x³-6ax+3a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由函数y=x³-6ax+3a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．

解答 解：对于函数y=x³-6ax+3a，求导可得y′=3x²-6a，
∵函数y=x³-6ax+3a在（0，1）内有极小值，
∴y′=3x²-6a=0，则其有一根在（0，1）内，当a＞0时，3x²-6a=0两根为±$\sqrt{2a}$，
若有一根在（0，1）内，则0＜$\sqrt{2a}$＜1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$．
当a=0时，3x²-6a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．
当a＜0时，3x²-6a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，
综合可得，0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．