Question

16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x-sinx，若不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根据函数的单调性问题转化为2mt²+4t+m＜0，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．

解答 解：由f（x）=x-sinx，可得f'（x）=1-cosx≥0，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，
再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，
由f（-4t）＞f（2mt²+m），
可得-4t＞2mt²+m，即2mt²+4t+m＜0，
当m=0时，不等式不恒成立；
当m≠0时，根据条件可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=16-8{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解之得m＜-$\sqrt{2}$，
综上，m∈（-∞，-$\sqrt{2}$），
故答案为（-∞，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．