Question

3．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，其中a＞0，若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 先求函数的导函数，找出导函数的零点，把定义域由零点分成几个区间判断导函数在各区间内的符号，从而得到原函数在个区间内的单调性；的单调区间，说明函数在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，结合函数零点和方程根的转化列式可求a的范围．

解答 解：由函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，得f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
故函数f（x）的增区间是（-∞，-1），（a，+∞）；减区间为（-1，a）．
f（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，
从而函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（-1）＞0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
所以a的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：$（{0，\frac{1}{3}}）$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．