Question

已知函数f（x）=（x-a）²e^x在x=2时取得极小值．
（1）求实数a的值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e⁴m，e⁴n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2），
由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．              
当a=2时，f'（x）=e^xx（x-2），
易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；
当a=4时，f'（x）=e^x（x-2）（x-4），
易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的a=2．                            
（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．                    
①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e⁴n，所以（n-2）²eⁿ=e⁴n．    
设g(x)=

(x-2)2

x

ex(x≥2)，则g′(x)=[

x2-4

x2

+

(x-2)2

x

]ex≥0，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．
由于g（4）=e⁴，即方程（n-2）²eⁿ=e⁴n有唯一解为n=4．
②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．
（Ⅰ）n＞m＞2时，

f(m)=(m-2)2em=e4m f(n)=(n-2)2en=e4n

，
由①可知不存在满足条件的m，n．       
（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，

(m-2)2em=e4n (n-2)2en=e4m

，
两式相除得m（m-2）²e^m=n（n-2）²eⁿ．
设h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
则h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x
=（x+2）（x-1）（x-2）e^x，
h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，
由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，
此时（m-2）²e^m＜4e＜e⁴n，矛盾．
综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．

点评：本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．