Question

已知集合Ω={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意点P（x₁，y₁）∈Ω，总存在点Q（x₂，y₂）∈Ω（x₂，y₂不同时为0），使得x₁•x₂+y₁•y₂=0成立，则称集合M是“正交对偶点集”．下面给出四个集合：
①Ω={（x，y）|y=|x-1|}；　　 　　②Ω={（x，y）|y=

3-x2

}；
③Ω={（x，y）|y=e^x-

1

2

}；        ④Ω={（x，y）|y=tanx}
其中是“正交对偶点集”的序号是（　　）

• A、①②
• B、②
• C、③
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①画出函数的图象，利用“正交对偶点集”的定义，判断正误即可；
对于②利用“正交对偶点集”的定义，判断正误即可；
对于③通过特例，判断是否满足“正交对偶点集”的定义，画出函数的图象即可判断正误；
对于④画出函数的图象，利用“正交对偶点集”的定义，判断正误即可；

解答： 解：对于①Ω={（x，y）|y=|x-1|}；函数的图象如图：
由“正交对偶点集”的定义可知，

OP

•

OQ

=0，当P在图象位置时不存在Q满足题意，∴①不正确；
对于②，Ω={（x，y）|y=

3-x2

}；函数的图象是一个x轴上方的半圆，由“正交对偶点集”的定义可知，

OP

•

OQ

=0，半圆的圆心是原点，∴满足题意，②正确．
对于③，M={（x，y）|y=e^x-

1

2

}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，

1

2

），则不存在N，满足“正交对偶点集”的定义，
∴③不正确．
对于④Ω={（x，y）|y=tanx}，y=tanx的图象如图，
由“正交对偶点集”的定义可知，

OP

•

OQ

=0，在（π，0）这点不符合条件，P，Q不始终存在满足定义，∴④不正确．
故选：B．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想以及转化思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．