Question

已知f（x）=

3

cos2x+2sin（

3π

2

+x）sin（π-x），x∈R
（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=-

3

，a=3，求BC边上的高的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T，及对称轴．
（Ⅱ）利用三角形面积公式得到h和bc的关系式，进而利用余弦定理得到b和c的关系式，利用基本不等式的性质求得bc的最大值，进而求得h的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

cos2x+2sin（

3π

2

+x）sin（π-x）=

3

cos2x-2cosxsinx=

3

cos2x-sin2x=2（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2cos（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+

π

6

），
∴f（A）=2cos（2A+

π

6

）=-

3

，即cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

．
设BC边上的高位h，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

a•h，即bc=3h，h=

bc

3

，
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-9

2bc

=

1

2

，
∴bc+9=b²+c²，
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．
∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，
∵A=

π

3

，
∴b=c=a=3，等号能成立．
∴此时h=

bc

3

=3．
∴h的最大值为3．

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，三角函数恒等变换的应用．考查了基础的知识的综合运用．