Question

已知函数f（x）=1-x²，函数g（x）=2ax-3a+2（a＞0），若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[

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2

，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[

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2

，1]，使得f（x₁）=g（x₂），可得f（x）=1-x²在x₁∈[0，1]的值域为g（x）=2ax-3a+2在x₂∈[

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2

，1]的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．

解答： 解：当x₁∈[0，1]时，由f（x）=1-x²得，
f（x₁）∈[0，1]，
∵x₂∈[

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2

，1]，又a＞0，
∴g（x₂）∈[2-2a，2-a]，
∵对任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[

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2

，1]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[0，1]⊆[2-2a，2-a]，
∴

2-2a≤0 2-a≥1

即

a≥1 a≤1

，
∴a=1，
故答案为：1．

点评：本题考查的知识点是二次函数、一次函数在闭区间上的最值问题，其中根据已知条件分析出“f（x）=1-x²在x₁∈[0，1]的值域为g（x）=2ax-3a+2在x₂∈[

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2

，1]的值域的子集”是解答的关键．