Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且AN=BN．
（Ⅰ）求证：AB⊥MN；
（Ⅱ）求点P到平面NMA的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点Q，连接MQ、NQ，由已知条件推导出AB⊥平面MNQ，由此能够证明AB⊥MN．
（2）设点P到平面NMA的距离为h，由V_P-NMA=V_N-PAM，能求出结果．

解答： （1）证明：取AB中点Q，连接MQ、NQ，
∵AN=BN，∴NQ⊥AB，…（2分）
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，又∵MQ∥PA，
∴MQ⊥AB，…（4分）
∴AB⊥平面MNQ，又MN?平面MNQ，
∴AB⊥MN．…（6分）
（2）设点P到平面NMA的距离为h，
∵M为PB的中点，∴S_△PAM=

1

2

S△PAB=

1

4

，
又NQ⊥AB，NQ⊥PA，∴NQ⊥面PAB，
∵∠ABC=30°，∴NQ=

3

6

，…（7分）
又MN=

NQ2+MQ2

=

3

3

，AN=

3

3

，AM=

2

2

，…（9分）
△NMA边AM上的高为

30

12

，
∴S_△NMA=

1

2

•

2

2

•

30

12

=

15

24

，…（10分）
由V_P-NMA=V_N-PAM，得

1

3

•S△NMA•h=

1

3

•S△PAM•NQ，
∴h=

5

5

．即点P到平面NMA的距离为

5

5

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．