Question

设u=（x，y）=|e^x-y|-y|x-lny|，x，y∈R．
（1）若a＞0，令f（x）=（x，a），判断f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜b，令F（x）=u（x，a）-u（x，b），试求函数F（x）的最小值；
（3）记（2）中的最小值为T（a，b），证明：T（a，b）＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：证明题,综合题,导数的综合应用

分析：（1）通过对x分x≥lna与x≤lna的讨论，去掉绝对值符号，再利用导数判断函数的单调性；
（2）通过对x分①x≤lna＜lnb，②lna≤x≤lnb，③lna＜lnb≤x三类讨论，利用导数可判断各区间上的单调性及最值情况，从而可求得F（x）有最小值；
（3）将所证的不等式进行等价变形，构造函数g（x）=xlnx，利用两次求导说明函数的凸凹性，从而得证．

解答： 解：（1）f（x）=|e^x-a|-a|x-ln a|（a＞0），
函数f（x）的定义域为R，
当x≥lna时，e^x≥a，f（x）=e^x-ax+alna-a，
∵f′（x）=e^x-a≥0，
∴f（x）在[lna，+∞）上为增函数，
当x≤lna时，e^x≤a，f（x）=ax-e^x-alna+a，
∵f′（x）=a-e^x≥0，
∴f（x）在（-∞，lna]上为增函数，
综上所述，f（x）在定义域R内为增函数；
（2）易知F（x）的定义域为R，F′（x）=u′（x，a）-u′（x，b），而0＜a＜b，
∴lna＜lnb，由（1）容易得到下列结论：
①当x≤lna＜lnb时，F′（x）=（a-e^x）-（b-e^x）=a-b＜0，
∴F（x）在（-∞，lna]上为减函数，从而F（x）≥F（lna），
②lna≤x≤lnb时，F′（x）=（e^x-a）-（b-e^x）=2e^x-（a+b），
令F′（x）=0，得x=ln

a+b

2

，
当lna≤x＜ln

a+b

2

时，时，F′（x）＜0，F，（x）单调递减，
当ln

a+b

2

＜x≤lnb时，F′（x）＞0，F，（x）单调递增，
∴当x=ln

a+b

2

时，F（x）有最小值F（ln

a+b

2

），
③lna＜lnb≤x时，F′（x）=（e^x-a）-（e^x-b）=b-a＞0，
∴F（x）在[lnb，+∞）上为增函数，从而F（x）≥F（lnb）
综上所述，当x=ln

a+b

2

时，
F（x）有最小值F（ln

a+b

2

）=alna+blnb-（a+b）ln

a+b

2

；
（3）由（2）知T（a，b）=alna+blnb-（a+b）ln

a+b

2

，
要证T（a，b）＞0，即证alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

，
等价为证：

alna+blnb

2

＞

a+b

2

ln

a+b

2

，
设g（x）=xlnx，则
上式等价为

f(a)+f(b)

2

＞f(

a+b

2

)，
即证明函数g（x）为凹函数即可．
∵g'（x）=1+lnx，g''（x）=

1

x

＞0恒成立，
∴函数g（x）为凹函数，
即

f(a)+f(b)

2

＞f(

a+b

2

)成立．
∴alna+blnb＞（a+b）ln

a+b

2

成立．
∴T（a，b）＞0．

点评：本题主要考查导数的应用，利用函数单调性，极值和最值与导数之间的关系是解决本题的关键，考查构造函数思想与抽象思维与推理证明的能力，综合性较强，运算量较大，属于难题．