Question

20．已知曲线y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，B∈R）上的一个最高点坐标为（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{2}$-1），与此点相邻的一个最低点的坐标为（$\frac{7π}{3}$，-$\sqrt{2}$-1）．

（1）求这条曲线的函数解析式．
（2）在图的平面直角坐标系中，用“五点作图法”画出该曲线在[0，3π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）依题意可得A，B，T的值，利用周期公式可求$ω=\frac{2π}{4π}=\frac{1}{2}$，又$sin（\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+φ）=1$，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可求φ的值，从而可求函数解析式．
（2）列表描点连线，由五点法即可作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．

解答 解：（1）依题意：$A=\sqrt{2}，B=-1，T=2（\frac{7π}{3}-\frac{π}{3}）=4π$，
∴$ω=\frac{2π}{4π}=\frac{1}{2}$，
∴$y=\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+φ）-1$，又$sin（\frac{1}{2}×\frac{π}{3}+φ）=1$，
∴$\frac{π}{6}+φ=k+\frac{π}{2}{\;}^{\;}（k∈Z）{\;}^{\;}∴φ=kπ+\frac{π}{3}，又|φ|＜\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
∴$φ=\frac{π}{3}$，
∴$y=\sqrt{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）-1$
（2）列表如下：

x	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{7π}{3}$	3π
$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
$y=\sqrt{2}sin（\frac{Χ}{2}+\frac{π}{3}）-1$	$\frac{{\sqrt{6}}}{2}-1$	$\sqrt{2}-1$	-1	$-\sqrt{2}-1$	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1$

描点，连线，可得函数图象如下：

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于中档题．