Question

10．给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②函数f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$（x∈R）是偶函数；
③x=$\frac{π}{8}$是函数y=$sin（2x+\frac{5}{4}π）$的一条对称轴的方程；
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中正确命题的序号是②③．

Answer 1

分析 ①根据二倍角正弦公式sin2α=2sinαcosα进行判断；
②直接利用偶函数的定义加以判断；
③把x=$\frac{π}{8}$代入函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）进行判断；
④通过举出反例，得到⑤不正确．

解答 解：①∵sinα•cosα=$\frac{1}{2}$sin2α=1，∴sin2α=2，此式错误，故①错误；
②对于函数f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$（x∈R），有f（-x）=$si{n}^{2}（-x）-\frac{1}{2}=si{n}^{2}x-\frac{1}{2}$，函数为偶函数，②正确；
③把x=$\frac{π}{8}$代入y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{8}+\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，∴x=$\frac{π}{8}$为y的一条对称轴；故③正确；
对于④，当α=$\frac{13π}{6}$、β=$\frac{π}{3}$时，都是第一象限的角，且α＞β，
但sinα=$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinβ，故④不正确．
∴正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评 本题以命题真假的判断为载体，考查了二倍角的正弦公式、三角函数的奇偶性和图象的对称轴等知识，属于中档题．