Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

3

2

an-

1

2

，
（1）求a₁；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（n-3）•a_n，求{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S1=

3

2

a1-

1

2

，能求出a₁=1．
（2）由an=Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1，推导出{a_n}是一个以1为首项，3为公比的等比数列，由此能求出an=3n-1．（3）由bn=(n-3)•3n-1，利用错位相减法能求出{b_n}前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵Sn=

3

2

an-

1

2

，
∴S1=

3

2

a1-

1

2

，
由S₁=a₁，解得a₁=1．（2分）
（2）∵Sn=

3

2

an-

1

2

，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1，（4分）
∴

3

2

an-1=

1

2

an，∴a_n=3a_n-1（n≥2）（5分）
∴{a_n}是一个以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1．（7分）
（3）∵an=3n-1，b_n=（n-3）•a_n，∴bn=(n-3)•3n-1，（8分）
∴Tn=(-2)×30+(-1)×31+0×32+1×33+…+(n-4)×3n-2+(n-3)×3n-1，①（9分）3Tn=(-2)×31+(-1)×32+0×33+1×34+…+(n-4)×3n-1+(n-3)×3n，②（11分）
①-②得-2Tn=-2+3+32+33+…+3n-2+3n-1-(n-3)×3n
=-2+

3(1-3n)

1-3

-(n-3)×3n=-2-

3(1-3n-1)

2

-(n-3)×3n，（13分）
∴Tn=1+

3(1-3n-1)

4

+

(n-3)•3n

2

=-

3n+1

2

+

(2n-1)•3n

4

+

7

4

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．