Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，A₁在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：
（1）连结BC₁，求异面直线AA₁与BC₁所成角的大小；
（2）连结A₁C、A₁B，求三棱锥C₁-BCA₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据异面直线所成的角的定义找出异面直线AA₁与BC₁所成的角，再求出异面直线AA₁与BC₁所成角的大小．
（2）由题意，先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积VABC-A1B1C1，在求得VA1-B1C1CB的大小，从而得VC1-BCA1的大小．

解答： 解：如图，；
（1）联结AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线．点O是正△ABC的中心，且A₁O⊥平面ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A₁O，且AD∩A₁O=O．
∴BC⊥平面ADA₁．
∴BC⊥AA₁．
又AA₁∥CC₁，
∴异面直线AA₁与BC₁所成的角为∠BC₁C．
∴CC₁⊥BC，
即四边形BCC₁B₁为正方形．
∴异面直线AA₁与BC₁所成角的大小为

π

4

．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，
∴AD=

3

，AO=

2

3

AD=

2 3

3

，
A₁O=

AA12-AO2

=

2 6

3

．
∴VABC-A1B1C1=S_△ABC•A₁O=

3

4

×2²×

2 6

3

=2

2

，
∴VA1-B1C1CB=VABC-A1B1C1-VA1-ABC=

4 2

3

．
∴VC1-BCA1=VA1-BCC1=

1

2

VA1-BCC1B1=

2 2

3

．

点评：本题考查了空间中的异面直线所成的角以及求几何体的体积等问题，解题时应画出图形，数形结合，适当地转化计算方法，是中档题．