Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和S_n满足2S_n=a

2 n

+a_n（n∈N^*）．
（1）证明：{a_n}为等差数列；
（2）令b_n=

lnan

a 2 n

，记{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n≤

2n2-n-1

4(n+1)

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2a_n=an2-an-12+an-an-1，从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能证明{a_n}是以1为首项1为公差的等差数列．（6分）
（2）由a_n=n，b_n=

lnan

a 2 n

=

lnn

n2

，得欲证T_n≤

2n2-n-1

4(n+1)

，即证：T_n=

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

≤

2n2-n-1

4(n+1)

，设f（x）=lnx-x+1，x＞0，则f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，由此利用导数性质能证明T_n≤

2n2-n-1

4(n+1)

．

解答： （1）证明：∵2S_n=an2+an，①
∴2Sn-1=an-12+an-1（n≥2）②
①-②得2a_n=an2-an-12+an-an-1，
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1（常数）
又4S1=4a1=a12+a1，
即a12-a1=0，解得a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项1为公差的等差数列．（6分）
（2）证明：由（1）知a_n=n，b_n=

lnan

a 2 n

=

lnn

n2

，
∴欲证T_n≤

2n2-n-1

4(n+1)

，即证：T_n=

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

≤

2n2-n-1

4(n+1)

，
设f（x）=lnx-x+1，x＞0，
则f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
当x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）为单调递增函数，
当x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减函数；
∴在x=1处f（x）取得极大值，也取得最大值．
∴f（x）≤f（1）=0，即lnx-x+1≤0，
∴lnx≤x-1，∴

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

，
n∈N^*，n≥2时，令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

，
∴

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

)
=

1

2

[（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）]
＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]
=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1-（

1

2

-

1

n+1

）]
=

2n2-n-1

4(n+1)

，
∴当n=1，有T_n=

2n2-n-1

4(n+1)

=0．
故T_n≤

2n2-n-1

4(n+1)

．（13分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．