题目内容
已知向量
=（cosα，sinα），
=（-
，
），其中α是锐角．
（Ⅰ）当α=30°时，求|
+
|；
（Ⅱ）证明：向量
+
与
-
垂直；
（Ⅲ）若向量
与
夹角为60°，求角α．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）当α=30°时，求|
| a |
| b |
（Ⅱ）证明：向量
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅲ）若向量
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得
+
的坐标，可得|
+
|的值．
（Ⅱ）由条件求得（
+
）•（
-
）=0，从而证得向量
+
与
-
垂直．
（Ⅲ）若向量
与
夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得 sin(α-
)=
，从而得到角α的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）由条件求得（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅲ）若向量
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：
（Ⅰ）解：当α=30°时，
=（
，
），所以，
+
=（
，
），
所以，|
+
|=
=
．
（Ⅱ）证明：由向量
=（cosα，sinα），
=（-
，
），
得
+
=（cosα-
，sinα+
），
-
=（cosα+
，sinα-
），
由 α∈(0，
)，得向量
+
，
-
均为非零向量．
因为（
+
）•（
-
）=
2-
2=（cos2α+sin2α）-（
+
）=0，
所以向量
+
与向量
-
垂直．
（Ⅲ）解：因为|
|=|
|=1，且向量
与
夹角为60°，
所以
•
=|
|•|
|•cos60°=
，所以 -
cosα+
sinα=
，即 sin(α-
)=
．
因为 0＜α＜
，所以 -
＜α-
＜
，
所以 α-
=
，即α=
．
| a |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
所以，|
| a |
| b |
(
|
| 2 |
（Ⅱ）证明：由向量
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
得
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
由 α∈(0，
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
因为（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
所以向量
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅲ）解：因为|
| a |
| b |
| a |
| b |
所以
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
因为 0＜α＜
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
所以 α-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．
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