Question

（理）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角的正切值等于（　　）

• A、1
• B、

  3

  3

• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线A₁B与平面A₁ B₁CD所成的角的正切值．

解答： 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
D（0，0，0），A₁（1，0，1），C（0，1，0），
B（1，1，0），

A1B

=（0，1，-1），

DA1

=(1，0，1)，

DC

=（0，1，0），
设平面A₁ B₁CD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DA1 =x+z=0 n • DC =y=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，-1），
设直线A₁B与平面A₁ B₁CD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

A1B

＞|=|

1

2 × 2

|=

1

2

，
∴tanθ=1．
∴直线A₁B与平面A₁ B₁CD所成的角的正切值为1．
故选：A．

点评：本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．