Question

已知点A的坐标为(

3

2

，0)，点B在圆O：x²+y²=7上运动，以点B为一端点作线段BM，使得点A为线段BM的中点．
（1）求线段BM端点M轨迹C的方程；
（2）已知直线x+y-m=0与轨迹C相交于两点P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用代入法，求线段BM端点M轨迹C的方程；
（2）联立直线和轨迹C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，写出根与系数关系，由以PQ为直径的圆经过坐标原点O得到

OP

•

OQ

=0．代入根与系数关系即可求得m的值．

解答： 解：（1）设B（x₀，y₀），M（x，y）
∵A是BM中点，
∴3=x₀+x，0=y₀+y
∴x₀=3-x，y₀=-y
代入x₀²+y₀²=7
∴（3-x）²+y²=7
即（x-3）²+y²=7…（6分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则直线x+y-m=0与轨迹C，消去y得2x²-（6+2m）x+m²+2=0
∴x₁+x₂=3+m，x₁x₂=（m²+2）/2…（9分）
∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O
∴

OP

⊥

OQ

，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（-x₁+m）（-x₂+m）=0
∴2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=0
∴m²+2-m（3+m）+m²=0
∴m²-3m+2=0
∴（m-1）（m-2）=0
∴m=1或2…（12分）

点评：本题给出直线与圆相交于点P、Q，并且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求参数的值．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．