Question

已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0．若f（x-1）＞0，则f（x）=log 

2

x

•log

2

（2x）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x-1|）＞f（2），即可得到结论．

解答： 解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x-1）＞0等价为f（x-1）＞f（2），
即f（|x-1|）＞f（2），
∴|x-1|＜2，解得-1＜x＜3，
f（x）=log 

2

x

•log

2

（2x）成立，则有

x

＞0，2x＞0，从而解得x＞0，
综上，有0＜x＜3，从而有0＜

x

＜

3

，0＜2x＜6，
故有0＜log

2

x

＜

lg3

lg2

，0＜log

2

2x＜log

2

6=

2lg6

lg2

故有：f（x）=log 

2

x

•log

2

（2x）∈（0，2log₂3log₂6）．
故答案为：（0，2log₂3log₂6）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x-1|）＞f（2）是解决本题的关键．