Question

如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；
（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出

AB

及平面EFGH的一个法向量

n

，用

AB

与

n

所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC．
如图，

∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD?平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD?平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC?平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC?平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AD⊥平面BDC，BC?平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH．
∴四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）解：
解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH∥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH⊥，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN=

2

2

，又MF=

1

2

AB=

5

2

，
∴sin∠AFN=

MN

MF

=

10

5

，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是

10

5

．

解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1．
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，

1

2

），G（0，1，0）．
则

AB

=(2，0，-1)，

FE

=(0，0，

1

2

)，

FG

=(-1，1，0)．
设平面EFGH的一个法向量为

n

=(x，y，z)．
由

n • FE =0 n • FG =0

，得

1 2 z=0 -x+y=0

，取y=1，得x=1．
∴

n

=(1，1，0)．
则sinθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

AB • n

| AB |•| n |

|=|

2×1+0×1+(-1)×0

5 × 2

|=

10

5

．

点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．