Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a．
（1）当a＞0时，求y=f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对称轴与区间的位置关系讨论a与1的大小；
（2）讨论a 是否为0，当a≠0时，考虑△=0的情况以及在[-1，1]上具有单调性用零点定理解决．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=2ax²+2x-3-a的对称轴为x=-

1

a

，a＞0，
①当-1≤-

1

a

＜0时即a≥1时，函数的最小值为f（-

1

a

）=

2

a

-3-a；
②当-

1

a

＜-1即0＜a＜1时，函数在[-1，1]上单调递增，函数的最小值为f（-1）=2a-2-3-a=a-5；
（2）若a=0，则f（x）=2x-3，令f（x）=0⇒x=

3

2

，不符题意，故a≠0；
当f（x）在[-1，1]上有一个零点时，此时

△=0 -1≤- 1 2a ≤1

或者f（1）f（-1）≤0，解得a=

-3- 7

2

或者1≤a≤5；
当f（x）在[-1，1]上有两个零点时，则

a＞0 △=4+8a(3+a)＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(-1)＞0 f(1)＞0

或者

a＜0 △＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(-1)＜0 f(1)＜0

，
解得a＞5或者a＜

-3- 7

2

；
所以a的取值范围是（-∞，-

-3- 7

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值的求法以及函数的零点，体现了讨论思想的运用．