Question

11．已知f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R），g（x）=x+$\frac{1}{x}$+4（x＜0）
（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）对?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0）有f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）_min≥g（x）_max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解（1）因为a=3，所以有|x-1|+|x-3|≥4，
当x≤1时，有4-2x≥4，所以x≤0，
当1＜x＜3时，有2≥4，
当x≥3时，有2x-4≥4，所以x≥4，
综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．
（2）由题意可得f（x）_min≥g（x）_max，
又f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，
g（x）≤2，
当且仅当x=-1时取等号，
所以有|a-1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤-1．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查函数最值问题，是一道中档题．