Question

3．已知函数f（x）=e^x-alnx．
（1）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（2-lna）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域，以及f（x）的导函数，导函数零点的个数即为两函数交点个数，分类讨论a的范围确定出零点个数即可；
（2）由a＞0时，导函数有零点，存在唯一x₀使f′（x₀）=0，分类讨论x的范围确定出导函数的增减性，求出f（x）最小值，即可得证．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-alnx，得到x＞0，
∴f（x）定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$的零点个数?y=e^x与y=$\frac{a}{x}$的交点个数，
①a=0时，显然无；
②a＞0时，有1个；
③a＜0时，无零点；
（2）由（1）a＞0时，存在唯一x₀使f′（x₀）=0，即e${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{a}{{x}_{0}}$，
且x∈（0，x₀）时，f′（x₀）＜0，f（x）单调递减，x∈（x₀，+∞）时，f′（x₀）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（x₀）=e${\;}^{{x}_{0}}$-alnx₀=$\frac{a}{{x}_{0}}$-aln$\frac{a}{{x}_{0}}$=$\frac{a}{{x}_{0}}$+ax₀-alna≥2a-alna=a（2-lna），得证．

点评 此题考查了导数的运算，根的存在性及根的个数判断，熟练掌握导函数的性质是解本题的关键．