Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足$\frac{cosB}{cosC}+\frac{2a}{c}+\frac{b}{c}=0$．
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）求sin²A+sin²B的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理将边化角，结合和与差的公式可得∠C的大小．
（Ⅱ）降次后利用辅助角公式转化为三角函数，利用三角函数的有界限即可得取值范围．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵$\frac{cosB}{cosC}+\frac{2a}{c}+\frac{b}{c}=0$，
∴由正弦定理可得：$\frac{cosB}{cosC}+\frac{2sinA}{sinC}+\frac{sinB}{sinC}=0$，
∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，
∴sinA+2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴$cosC=-\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π．
∴$C=\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵${sin^2}A+{sin^2}B=1-\frac{cos2A+cos2B}{2}=1-\frac{1}{2}sin（2A+\frac{π}{6}）$，
又∵$0＜A＜\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2A+\frac{π}{6}）≤1$，
即${sin^2}A+{sin^2}B∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$．
故得sin²A+sin²B的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查三角形的正弦定理的运用以及二倍角，辅助角公式的化解能力，考查运算能力，属于基础题．