Question

18．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₂，a₃，并由此归纳出{a_n}的通项公式
（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）的结论．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，并猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（2）用数学归纳法证明．

解答 解：（1）由a₁=1，a₂=ca₁+c²3=（2²-1）c²+c
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（2）下面用数学归纳法证明，
当n=1是，等式成立，
假设当n=k，等式成立即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，
则当n=k+1时a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，
综上a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，对任意n∈N都成立．

点评 本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力