Question

11．（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，并经过点P（-3，-6），求此抛物线的方程．
（Ⅱ）已知圆：x²+y²=c²（c＞0），把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的$\sqrt{2}$倍得一椭圆．求椭圆方程，并证明椭圆离心率是与c无关的常数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，设抛物线的方程，代入椭圆方程，即可求得p的值，即可求得抛物线的方程；
（Ⅱ）将P经过坐标变换，求得对应点的坐标，代入圆的方程，即可求得椭圆方程，求得椭圆的离心率与c无关的常数．

解答 解：（Ⅰ）依题意，若焦点在x轴，设抛物线的方程为y²=2px（p≠0），
将P（-3，-6）代入，（-6）²=2p（-3），得2p=-12，此时方程为：y²=-12x，
若焦点在y轴，设抛物线的方程为x²=2py（p≠0），
将P（-3，-6）代入，（-3）²=2p（-6），得$2p=-\frac{3}{2}$，此时方程为：${x^2}=-\frac{3}{2}y$，
∴抛物线的方程为y²=-12x或${x^2}=-\frac{3}{2}y$；
（Ⅱ）设P₀（x₀，y₀）是圆：x²+y²=c²上任一点，则P（x，y）为所求椭圆上经过变换后的对应点，
则有$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}{x_0}\\ y={y_0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{{\sqrt{2}}}\\{y_0}=y\end{array}\right.$代入圆的方程得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}={c}^{2}$，
故所求的椭圆方程为：$\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$．
又椭圆的长半轴的长为$\sqrt{2}c$，半焦距为c，故离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$与c无关．

点评 本题考查抛物线的标准方程，椭圆的性质，考查分类讨论思想，属于基础题．