Question

15．已知函数f（x）=x³-3x²+3（1-m²）x，（0＜m＜1）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（Ⅱ） 若f（x）恰好有三个零点，求实数m取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；
（Ⅱ）根据函数有3个零点，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3（x²-2x+1-m²）=0，
得x₁=1-m，x₂=1+m，
由0＜m＜1，列表如下：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）上为增函数；在（1-m，1+m）上为减函数；        
函数f（x）的极大值点为x=1-m，极小值点为x=1+m．
（Ⅱ）若f（x）恰好有三个零点，
则$\left\{{\begin{array}{l}{f（{1-m}）＞0}\\{f（{1+m}）＜0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2{m^2}-m-1＜0\\ 2{m^2}+m-1＞0\end{array}\right.$；
又0＜m＜1解得$\frac{1}{2}＜m＜1$，
故实数m取值范围为$（\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．