Question

9．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且对任意x＞1，都有k＜$\frac{f（x）}{x-1}$成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，求出（1，f（1））点处的切线方程与3x-y-2=0相等即可；
（2）由题意转换为：令$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，则k＜g（x）_min．利用导数求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=a+1=3\\ f（1）=a+b=1\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$
∴f（x）=xlnx+2x-1．
（2）$k＜\frac{f（x）}{x-1}$可化为$k＜\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，
令$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，则k＜g（x）_min，$g'（x）=\frac{x-2-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$，x∈（1，+∞）．
令h（x）=x-2-lnx，
则$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，
∴h（x）在（1，+∞）上为增函数．
又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
故存在唯一的x₀∈（3，4）使得h（x₀）=0，即x₀-2=lnx₀．
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（1，x₀）上为减函数；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（x₀，+∞）上为增函数．
∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（{x_0}-2）+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}={x_0}+1$，
∴k＜x₀+1．
∵x₀∈（3，4），
∴x₀+1∈（4，5），∵k∈Z，
∴k的最大值为4．

点评 本题主要考查了函数单调性，函数的切线方程求法，以及构造新函数比较大小，属中等难度题．