Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=4，AB∥CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，
（1）求证：BD⊥平面PAC
（2）已知点F在棱PD上，且PB∥平面FAC，若PA=5，求三棱锥D-FAC的体积V_D-FAC．

Answer 1

分析 （1）利用平面PAB⊥平面ABCD从而得到PA⊥平面ABCD，而后求证AC⊥BD来得证BD⊥平面PAC；
（2）充分利用面面垂直，线面平行等关系求出高FM与底面积来三棱锥的体积．

解答 证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，
PA?平面PAB，∴PA⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD，PA⊥BD，
连结AC∩BD=O，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=1，
BC=2，CD=4，∠BDC=∠ACB，
∴∠ACB+∠CBD=∠BDC+∠CBD=90°，
则AC⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）作FM⊥AD于M，连接MO，FO
由（1）知：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴FM⊥平面ADC，FM∥PA
∵PB∥平面FAC，PB?平面PBD，平面PBD∩平面FAC=FO
∴FO∥PB，∴平面FMO∥平面PAB
∴$MO∥AB，\frac{FM}{PA}=\frac{DM}{DA}=\frac{DO}{DB}=\frac{4}{5}$，
又PA=5，∴FM=4，${S_{△ADC}}={S_{梯形ABCD}}-{S_{△ABC}}=\frac{AB+DC}{2}•BC-\frac{1}{2}AB•DC=4$
∴${V_{D-FAC}}={V_{F-DAC}}=\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了线面平行判定，线面垂直判定以及空间几何体体积，属中等题．