Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n=（-1）ⁿ×2a_n-2（n≥3，n∈N^*），其前n项和为S_n．
（1）求a_2n+1关于n的表达式；
（2）观察S₁，S₂，S₃，S₄，…，S_n，数列{S_n}的前100项中相等的项有几对？

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到数列{a_n}的所有奇数项构成以1为首项，以-2为公比的等比数列，
所有偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列．由此可得a_2n+1关于n的表达式；
（2）由（1）写出数列{a_n}的前几项，通过观察可知，S₁，S₂，S₃中有一对相等的，以后每四项有一对，则答案可求．

解答： 解：（1）由a_n=（-1）ⁿ×2a_n-2（n≥3，n∈N^*），得

an

an-2

=(-1)n•2，
∴数列{a_n}的所有奇数项构成以1为首项，以-2为公比的等比数列，
所有偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_2n+1=（-2）ⁿ；
（2）由（1）可知，数列{a_n}的项为：
1，2，-2，4，4，8，-8，16，16，32，-32，…
由上可知，S₁，S₂，S₃中有一对相等的，
以后每四项有一对，共25对．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了学生的归纳推理能力，是中档题．