Question

如图，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（侧棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求BC₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据题中的已知条件找到线线垂直，进一步找到线面垂直的条件，来证明线面垂直．
（2）要求直线与平面的夹角，首先找到直线与平面所成角的平面角，然后利用余弦定理来求解．

解答：
证明：（1）设E是DC的中点，连结BE，则四边形DABE为正方形．
∴BE⊥CD，故BD=

2

，BC=

2

，CD=2
∴∠DBC=90°即：BD⊥BC
∵BD⊥BB₁  BB₁∩BC=B
∴BD⊥平面BCC₁B₁
（2）由（1）知∴BD⊥平面BCC₁B₁
BC₁?平面BCC₁B₁
∴BD⊥BC₁
取BD的中点F，连结A₁F，A₁D=A₁B
A₁F⊥BD
取DC₁的中点M，连结FM，
则：FM∥BC₁
∴FM⊥BD
∴BD⊥平面A₁FM
过M向平面A₁FM作垂线，垂足必落在A₁F上，
∴∠A₁FM为直线BC₁与平面A₁BD所成的角．
连结A₁M，在△A₁FM中，A1F=

3

2

2

  FM=

1

2

BC1=

1

2

BC2+CC12

=

6

2

取D₁C₁的中点H，连结A₁H，HM
在Rt△A₁HM中，A1H=

2

，HM=1，A1M=

3

∴cos∠A1FM=

A1F2+FM2-A1M2

2A1F•FM

=

3

3

∴直线BC₁与平面A₁BD所成角的正弦值为

6

3

点评：本题考查的知识点：线面垂直的判定，线面垂直的性质定理，直线与平面所成的角，余弦定理勾股定理及相关的运算问题．