Question

设x，y为正数，且x+y=1，用反证法证明：（

1

x2

-1）（

1

y2

-1）≥9．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：推理和证明

分析：直接利用反证法的证明步骤，反设所证明的不等式，推出错误结论（2x-1）²＜0，即可证明原不等式成立．

解答： 证明：假设(

1

x2

-1)(

1

y2

-1)＜9，由于x，y＞0，且x+y=1，所以(

1

x2

-1)(

1

y2

-1)=

(1+x)(1-x)

x2

×

(1+y)(1-y)

y2

=

(1+x)y

x2

×

(1+y)x

y2

=

1+x

x

×

1+y

y

=

1+x

x

×

2-x

1-x

＜9，
由此得（2x-1）²＜0，这是不可能的．
故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，反证法的应用，注意：正确推理过程得到错误结论是解题的关键．