Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时，总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f（x）为单函数，则其导函数f′（x）=0无解；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是

 

 （写出所有真命题的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：从给的条件可以看出，单函数的自变量x与函数值y间是一一对应的关系，据此判断：
①举个反例可说明其不是单函数，如令f（x）=1，得x=±1，故①假；
②考虑其逆否命题就是单函数的定义，所以②真；
③举反例，如y=x³，其导函数在x=0处导数为0；
④只有严格单调递增或递减时，才能符合题意是单函数，故④假．

解答： 解：对于①，当f（x）=1时，解得x=±1，不满足单函数定义，故①假；
对于②，该命题的逆否命题就是单函数的定义，故②真；
对于③，举例：函数y=x³的导数在x=0时为0，故③为假；
对于④，只有在定义域上严格单调递增或单调递减的函数才是单函数，故④假．
故答案为②．

点评：此题考查了函数的单调性与单函数间的关系，注意理解单调函数的定义：如函数定义域为[0，2]，但该函数在[0，1]为常函数0，在（1，2]上是y=x上一段，此时我们也称该函数为定义域内的单调函数．