题目内容
已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求
+
+
的最大值．
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
考点：一般形式的柯西不等式
专题：计算题,不等式
分析：根据柯西不等式（x1y1+x2y2+x3y3）2≤（x12+x22+x32）（y12+y22+y32），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到
+
+
的最大值．
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
解答：
解：因为a、b、c＞0，
所以（
+
+
）2=（
•1+
•1+
•1）2
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是
+
+
≤2
，
当且仅当
=
=
，即a=b=c=
时，取“=”．
所以，
+
+
的最大值为2
…10分．
所以（
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
| 3 |
当且仅当
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
| 1 |
| 3 |
所以，
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
| 3 |
点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求
+
+
的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．
| a+1 |
| b+1 |
| c+1 |
练习册系列答案
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