Question

证明不等式：
（1）设a＞0，b＞0，求证：a⁵+b⁵≥a³ b²+a² b³
（2）已知a≥1，求证：

a+1

-

a

＜

a

-

a-1

（3）已知a，b，c＞0，求证：

a2b2+b2c2+c2a2

a+b+c

≥abc．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,分析法,综合法

分析：（1）利用作差比较法进行证明；
（2）利用分析法进行证明；
（3）利用综合法进行证明．

解答： 证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a⁵+b⁵-a³ b²-a² b³
=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）≥0
∴a⁵+b⁵≥a³ b²+a² b³…（5分）
（2）证明：要证原不等式成立，
只需证  

a+1

+

a-1

＜2

a

只需证  2a+2

a2-1

＜4a
即证

a2-1

＜a
只需证 a²-1＜a²
即证-1＜0，而-1＜0成立
因此，原不等式成立．…（5分）
（3）证明：因为 b²+c²≥2bc，a²＞0，所以 a²（b²+c²）≥2 a²bc．（1）
同理  b²（c²+a²）≥2 b²ac．（2）c²（a²+b²）≥2 c²ab．（3）
（1）、（2）、（3）相加得，2（ a² b²+b² c²+c² a²）≥2 a²bc+2 b²ac+2 c²ab，
从而 a² b²+b² c²+c² a²≥abc（a+b+c）．
由a，b，c＞0，得a+b+c＞0，于是原不等式成立．…（5分）

点评：本题考查不等式的证明，考查分析法、综合法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．