Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AC⊥B₁D₁　
（2）求异面直线BC₁与B₁D₁所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．只要证明

AC

•

B1D1

=0，即可．
（2）利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．
取AB=1，则A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）．
∴

AC

=（-1，1，0），

B1D1

=（-1，-1，0）．
∵

AC

•

B1D1

=1-1=0，
∴AC⊥B₁D₁．
（2）B（1，1，0），C₁（0，1，1）．

BC1

=（-1，0，1），
cos＜

BC1

，

B1D1

＞=

BC1 • B1D1

| BC1 || B1D1 |

=

1

2 × 2

=

1

2

，
∴异面直线BC₁与B₁D₁所成的角为

π

3

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式，属于基础题．