Question

15．定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）=sinx，则$f（\frac{5}{3}π）$的值为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知可函数f（x）既是奇函数又是周期函数，且f（x）的最小正周期为π，可得：f（$\frac{5π}{3}$π）=f（-$\frac{π}{3}$π）=-f（$\frac{π}{3}$），进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）既是奇函数又是周期函数，且f（x）的最小正周期为π，
∴f（$\frac{5π}{3}$）=f（$\frac{5π}{3}$-2π）=f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{3}$），
∵当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）=sinx，
∴-f（$\frac{π}{3}$）=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．