Question

6．已知抛物线E：x²=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，其中O为原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）当 k=1时，求弦长|AB|

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得p，求得抛物线方程；
（2）由（1）可知，利用弦长公式即可求得弦长|AB|．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，整理得x²-2pkx-4p=0，
其中△=4p²k²+16p＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-4p，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$•$\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}$=-4p+4，
由已知，-4p+4=2，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线E的方程为x²=y；
（2）由（1）可知：x₁+x₂=1，x₁x₂=-2，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=3$\sqrt{2}$，
弦长|AB|=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的标准方程，韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．