Question

5．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2．|$\overrightarrow{AC}$|=1，点D是BC的中点．

（1）求证：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）为常数，并求出该常数；
（3）如图2，若cosA=$\frac{3}{4}$，F为线段AD上的任意一点，求$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）的范围．

Answer 1

分析 （1）延长AD到A₁使得AD=DA₁，连接CA₁，A₁B，证明四边形ACA₁B是平行四边形，即可证明：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）运用向量加法三角形法则，以及向量垂直的性质：数量积为0，斜率的平方即为模的平方，即可得到所求常数；
（3）设|$\overrightarrow{AF}$|=x，则|$\overrightarrow{FD}$|=$\sqrt{2}$-x（0≤x≤$\sqrt{2}$），运用向量共线和向量数量积的定义，可得$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x），利用基本不等式，可得所求的范围．

解答 （1）证明：延长AD到A₁使得AD=DA₁，连接CA₁，A₁B，
∵D是BC的中点，
∴四边形ACA₁B是平行四边形，
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）证明：∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$，
∵DE⊥BC，∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²）=$\frac{1}{2}$×（4-1）=$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{3}{2}$；
（3）解：△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，cosA=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），

∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+2×2×1×\frac{3}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，
同理$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=2$\overrightarrow{FD}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=$\overrightarrow{AF}$•2$\overrightarrow{FD}$=2|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{FD}$|，
设|$\overrightarrow{AF}$|=x，则|$\overrightarrow{FD}$|=$\sqrt{2}$-x（0≤x≤$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）=2x（$\sqrt{2}$-x）≤2（$\frac{x+\sqrt{2}-x}{2}$）²=1，
当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$）∈（0，1]．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查向量数量积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．