Question

7．如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC²=AB•AC，则A的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．

解答 解：cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$，连接AO并且延长与BC相交于点D．
设AD=m，∠ADB=α．
则AB²=${m}^{2}+\frac{B{C}^{2}}{4}$-2×$\frac{BC}{2}$×mcosα，
AC²=m²+$\frac{B{C}^{2}}{4}$-2m×$\frac{BC}{2}$×cos（π-α），
相加可得：AB²+AC²=2m²+$\frac{1}{2}B{C}^{2}$．
m²=（3OD）²=$9×（\frac{1}{2}BC）^{2}$=$\frac{9}{4}B{C}^{2}$．
∴AB²+AC²=5BC²．
又4BC²=AB•AC，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）
∴A=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、中线长定理、三角函数求值、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．