Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（

3

，-

3

2

），且椭圆的离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

1

2

，

3

a2

+

3

4b2

=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则 BD：y=0．直线PQ恒过一个定点(

4

7

，0)；当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x-1）（k≠0），BD：y=-

1

k

(x-1)．联立方程组

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线PQ恒过一个定点(

4

7

，0)．

解答： （1）解：由e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

1

4

，
即a²=4c²=4（a²-b²），即3a²=4b²． …（1分）
由椭圆过点(

3

，-

3

2

)知，

3

a2

+

3

4b2

=1． …（2分）
联立（1）、（2）式解得a²=4，b²=3．   …（3分）
故椭圆的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）证明：直线PQ恒过一个定点(

4

7

，0)．…（5分）
椭圆的右焦点为F（1，0），分两种情况．
1°当直线AC的斜率不存在时，
AC：x=1，则 BD：y=0．由椭圆的通径得P（1，0），
又Q（0，0），此时直线PQ恒过一个定点(

4

7

，0)．…（6分）
2°当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x-1）（k≠0），
则 BD：y=-

1

k

(x-1)．
又设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立方程组

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，
消去y并化简得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…（8分）
所以x1+x2=

8k2

4k2+3

．y1+y2=k(x1+x2-2)=k(

8k2

4k2+3

-2)=-

6k

4k2+3

．P(

4k2

4k2+3

，-

3k

4k2+3

)．…（10分）
由题知，直线BD的斜率为-

1

k

，
同理可得点Q(

4

4+3k2

，

3k

4+3k2

)．…（11分）
kPQ=

3k 4+3k2 + 3k 4k2+3

4 4+3k2 - 4k2 4k2+3

=-

7k

4(k2-1)

．
y-

3k

4+3k2

=-

7k

4(k2-1)

(x-

4

4+3k2

)，…（12分）
即4yk²+（7x-4）k-4y=0．
令4y=0，7x-4=0，-4y=0，解得x=

4

7

，y=0．
故直线PQ恒过一个定点(

4

7

，0)；…（13分）
综上可知，直线PQ恒过一个定点(

4

7

，0)．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过一个定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．