Question

已知函数f（x）=（

1

3

）^x，函数g（x）=log 

1

3

x
（1）若g（mx²+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若g（mx²+2x+m）的定义域为R，结合对数函数的性质建立不等式恒成立，即可求实数m的取值范围．
（2）利用换元法设t=（

1

3

）^x，将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求出函数的最小值．

解答： 解：（1）∵g（mx²+2x+m）=log 

1

3

（mx²+2x+m）的定义域为R，
则等价为不等式mx²+2x+m＞0的解集为R，
当m=0是，不等式等价为x＞0，此时不满足条件．
当m≠0，
则等价为

m＞0 △=4-4m2＜0

，
即

m＞0 m＞1或m＜-1

，
解得m＞1．
（2）令t=（

1

3

）^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

3

，3]，
则y=[f（x）]²-2af（x）+3等价为y=m（t）=t²-2at+3，
对称轴为t=a，
当a＜

1

3

时，函数的最小值为h（a）=m（

1

3

）=

28-6a

9

；
当

1

3

≤a≤3时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3-a²；
当a＞3时，函数的最小值为h（a）=m（3）=12-6a；
综上所述，h（a）=

28-6a 9 ， a＜ 1 3 3-a2， 1 3 ≤a≤3 12-6a， a＞3

．

点评：本题主要考查函数最值的应用，利用对数函数的性质，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．