题目内容
求函数y=
+
+2（a＞0，x∈[1，3]）的最大值和最小值．
| a |
| x |
| x |
| 4a |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：由基本不等式可得当x=2a时取到最小值3，分2a在区间的左、右、中三种情形可得．
解答：
解：y=
+
+2≥2
+2=3
当且仅当
=
，即x=2a时取等号，
（1）当2a≤1即0＜a≤
时，函数y=
+
+2在x∈[1，3]单调递增，
∴当x=1时，函数取最小值a+
+2，当x=3时，函数取最大值
+
+2；
（2）当2a≥3即a≥
时，函数y=
+
+2在x∈[1，3]单调递减，
∴当x=1时，函数取最大值a+
+2，当x=3时，函数取最小值
+
+2；
（3）当1＜2a＜3即
＜a＜
时，函数有最小值3，
最大值在a+
+2和
+
+2中取到．
| a |
| x |
| x |
| 4a |
|
当且仅当
| a |
| x |
| x |
| 4a |
（1）当2a≤1即0＜a≤
| 1 |
| 2 |
| a |
| x |
| x |
| 4a |
∴当x=1时，函数取最小值a+
| 1 |
| 4a |
| a |
| 3 |
| 3 |
| 4a |
（2）当2a≥3即a≥
| 3 |
| 2 |
| a |
| x |
| x |
| 4a |
∴当x=1时，函数取最大值a+
| 1 |
| 4a |
| a |
| 3 |
| 3 |
| 4a |
（3）当1＜2a＜3即
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
最大值在a+
| 1 |
| 4a |
| a |
| 3 |
| 3 |
| 4a |
点评：本题考查基本不等式，涉及分类讨论的思想，属中档题．
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