Question

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x²=-4

2

y的焦点是它的一个焦点，又点A（1，

2

）在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为

2

直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积为

2

时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的焦点，可设椭圆方程，再将点A代入，即可求出椭圆方程；
（2）设直线BC的方程为y=

2

x+m，联立椭圆方程，应用韦达定理，注意判别式大于0，应用弦长公式，点到直线的距离公式等，即可求出m．

解答： 解：（1）由已知抛物线的焦点为(0，-

2

），故设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，
将点A(1，

2

）代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1，整理得a⁴-5a²+4=0，
得a²=4，a²=1（舍去），故所求的椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）设直线BC的方程为y=

2

x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得4x²+2

2

mx+m²-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，可得m²＜8．
由x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 • 16-2m2

2

．
又点A到BC的距离为d=

|m|

3

，
故S_△ABC=

1

2

|BC|d=

|m| 16-2m2

4

=

2

，
解得：m=±2，检验成立．
∴所求直线l的方程为：y=

2

x±2．

点评：本题主要考查椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，如何求弦长，以及应用韦达定理，考查基本的运算能力，属于中档题．