Question

12．△ABC在内角A、B、C所对的边分别为a，b，c；向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，a）与$\overrightarrow{n}$=（sinB，$\sqrt{3}$b）平行．
（1）求A；
（2）若$a=\sqrt{7}，b=2$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行，列出方程，利用正弦定理，化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c，然后利用面积公式求解即可．

解答 解：（1）因为向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，a）与$\overrightarrow{n}$=（sinB，$\sqrt{3}$b）平行，
所以$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
由正弦定理，得$sinAsinB-\sqrt{3}sinBcosA=0$，
又sinB≠0，从而$tanA=\sqrt{3}$，
由于0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
而$a=\sqrt{7}，b=2，A=\frac{π}{3}$，
得7=4+c²-2c，即c²-2c-3=0，
因为c＞0，所以c=3．
故△ABC的面积为$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，向量共线的充要条件的应用，考查转化思想以及计算能力．